Let z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, and z3 = a3 + b3i. Prove the folowing using algebra or by showing with vectors.

a. z1 + z2 = z2 + z1

b. z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

a) z1 + z2 = z2 + z1 ... proved.

b) z1 + (z2 + z3) = (z1+z2) + z3 ... proved.

Step-by-step explanation:

It is given that there are three vectors z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 and z3 = a3 + ib3. Now, we have to prove (a) z1 + z2 = z2 + z1 and (b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.

(a) z1 + z2 = (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i (b1 + b2) {Adding the real and imaginary parts separately}

Again, z2 + z1 = (a2 + ib2) + (a1 + ib1) = (a2 + a1) + i (b2 + b1) {Adding the real and imaginary parts separately}

Hence, z1 + z2 = z2 + z1 {Since, (a1 + a2) = (a2 + a1) and (b1 + b2) = (b2 + b1) }

(b) z1 + (z2 + z3) = [a1 + ib1] + [ (a2 + a3) + i (b2 + b3) ] = (a1 + a2 + a3) + i (b1 + b2+b3) {Adding the real and imaginary parts separately}

Again, (z1+z2) + z3 = [ (a1+a2) + i (b1+b2) ]+[a3+ib3] = (a1 + a2 + a3) + i (b1 + b2+b3) {Adding the real and imaginary parts separately}

Hence, z1 + (z2 + z3) = (z1+z2) + z3 proved.